数学发展史上三次数学危机
第一次数学危机 “无理数的产生”
第一次危机发生在公元前 580～568 年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立
了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知
识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
毕达哥拉斯学派认为“万物皆数” ，这个数就是整数，他们确定数学的目的是
企图通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理， 并且认为宇宙间的一切现象都能归结
为整数或整数之比。后来这个学派发现了毕达哥拉斯学定理（勾股定理） ，他们
认为这是一件很了不起的事， 然而了不起的事后面还有更了不起的事。 毕达哥拉
斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发， 发现边长为 1 的正方形对角线不能用
整数来表示， 这就产生了这个无理数。 这无疑对“万物皆数” 产生了巨大的冲击，
由此引发了第一次数学危机。
第二次数学危机“微积分工具”
18 世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分
数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。 但是不管是牛顿， 还是莱布尼茨所创
立的微积分理论都是不严格的。
危机的起源
因为牛顿和莱布尼茨的微积分理论是建立在无穷小分析之上的， 但他们对作为
基本概念的无穷小量的理解与应用是混乱的。 1734 年，英国哲学家、大主教贝
克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》 ，矛头指向微积分的基
础——无穷小的问题， 提出了所谓贝克莱悖论。 笼统的说， 贝克莱悖论可以表述
为“无穷小量究竟是否为 0”的问题。这一问题的提出在当时的数学界引起了一
定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。
第三次数学危机 “罗素悖论”
到 19 世纪末，康托尔的集合论已经得到数学家的承认，集合论也成功地应用
到其他的数学分支。 集合论是数学的基础， 由于集合论的使用， 数学似乎已经达
到了无懈可击的地步。 但是，正当数学家们熟练地应用集合论时， 数学帝国又爆
发了一次危机。
康托尔集合论的创造性成果为数学提供了广泛的理论基础，所以在 1900 年巴
黎国际数学会议上，法国大数学家庞加莱宣称： “数学的严格性，看来直到今天
才可以说实现了。”但事隔两年后，却传出一个惊人的消息：集合论的概念本身
出现了矛盾。 这就是英国数学家罗素提出的著名的悖论， 罗素悖论的内容用一句
话表述就是：所有不以自己为元素的集合组成一个集合，记为 A；则有集合 A包
含 A等价于集何 A不包含 A这样的悖理 。罗素悖论一提出就在当时的数学界和
逻辑学界引起了极大的震动。 这一悖论引起的巨大反响则导致了数学史上的第三
次危机。
历史上的三次数学危机，给数学界带来了极大的麻烦，危机的产生使数学家
认识到了现有理论的缺陷， 科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个
新阶段，所以悖论是科学发展的产物，又是科学发展动力之一。希帕索斯悖论、
贝克莱悖论以及罗素悖论分别引发了数学发展史上的三次危机。 然而，这三次危
机又不同程度的促进了数学的发展。
